Разгадка “Магического квадрата”

Думаю, каждый видел старую загадку под названием “Магический квадрат” (”Отгадыватель мыслей”, “Волшебный квадрат”) - страницу в интернете, которая предлагает вам загадать двузначное число, затем отнять сумму входящих в него цифр, найти в таблице символ, соответствующий получившемуся числу, после чего “Магический квадрат” отобразит его на экране.

Первое время это производит неизгладимое впечатление. Действительно, начинает казаться, будто страница отгадывает символ, на который смотрит пользователь. Но если попробовать разобраться, каким же образом всё это работает, всё становится предельно ясно. Хотя ощущение колдовства и ловкости, с которым этот трюк проделывается, не покидает ещё долгое время.

Если взглянуть на пример такой “магической” таблицы, то на первый взгляд не видно ничего особенного.

Пример таблицы 'Магического квадрата'

Попробуем пройтись по условию загадки и придумаем произвольное двузначное число. Пусть это будет - 87. Теперь отнимем от этого числа сумму цифр, из которых оно состоит: 87 - (8 + 7). Получилось - 72. Отыщем в таблице символ, соответствующий этому числу. И здесь, внимание! Даже если вы загадали любое другое начальное число, бьюсь об заклад, что букву мы увидим одну и ту же - e!

Откуда это может быть известно? Если внимательно присмотреться к таблице, то становится заметно, что все символы на главной диагонали одинаковы, исключая символ под номером 90. Впрочем, он никогда не будет участвовать в загадывании. По остальным номерам специально разбросано большое количество случайных букв, чтобы было труднее заметить какую-либо закономерность.

Пример таблицы 'Магического квадрата'

Что интересно, какое бы начальное число, соответствующее условию, вы ни загадали, в таблице вы будете разыскивать символ только под следующими номерами: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. Закономерность видна даже школьнику из третьего класса: каждое из этих чисел делится на девять.

Вспомним признак делимости на девять: число делится на девять тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на девять. В каждом из рядов таблицы такое число только одно.

Но ведь исходное, заданное, число может быть абсолютно любым! Почему же мы, в конечном итоге, выходим на набор чисел, составляющих главную диагональ? А здесь вступает в дело удивительный математический феномен, который я формулирую так: если от любого числа отнять сумму его цифр, то полученное число будет делиться на девять без остатка.

Вот и вся разгадка! Какое бы число вы ни загадали, отняв от него сумму входящих в него цифр, вы получаете число, которые делится на девять. А в каждой строке такое число встречается только один раз. Кроме самого верхнего ряда. Хотя число 90 и находится на главной диагонали, а также делится на девять без остатка - всё это не имеет совершенно никакого значения, поскольку получить его в качестве результата вычислений не получится: даже если вы загадаете максимальное двузначное число - 99, вам ведь всё равно придётся отнять от него 18. И вы получите число 81.

Подведём черту. При каждой загрузке страницы с “Магическим квадратом”, его таблица заполняется набором случайных символов. Только на главной диагонали располагается определённый символ, который будет служить “ответом”. Так что квадрат “знает” разгадку ещё до того, как вы загадаете какое-либо число или символ.